前言

考研数学，从来不是智力的较量，而是方法、记忆与熟练度的博弈。在这场每年数百万人的竞争中，真正拉开差距的，往往不是谁做对了最后一道压轴题，而是谁能在考场上快速、准确、不犹豫地调用每一个核心公式。

这篇《考研数学公式大全（核心精华版）》，是我在系统梳理高等数学、线性代数、概率论与数理统计三大模块的基础上，去冗存精、直击考点的浓缩之作。它既不是一本面面俱到的教材，也不是一本只有目录的工具书——它是一份为你应试冲刺量身定制的“公式地图”。你在其中会看到：

  • 高等数学：两个重要极限、等价无穷小、泰勒展开、积分技巧、多元微分、二重积分、微分方程——覆盖数一/二/三的高频基石；
  • 线性代数：行列式展开、矩阵求逆、施密特正交化、特征值性质、相似对角化——打通抽象与计算的任督二脉；
  • 概率论与数理统计：全概率与贝叶斯、六大常见分布、数字特征、协方差与相关系数——拿稳概率部分的“必得分”；
  • 数一专项：向量代数、格林/高斯/斯托克斯公式、傅里叶级数——为高分选手补全最后一公里。

我深知，考研复习的后期，时间比黄金更贵。因此，本文只收录那些“考场上必须脱口而出”的结论，并配有清晰的符号与结构，方便你随时随地翻阅、默写、自测。反复看三遍，动手推一遍，考前再过一遍——这不仅是记忆策略，更是应试自信的来源。

无论你正处于强化阶段的查漏补缺，还是冲刺阶段的快速回温，这文都希望能成为你案头常翻、考前必看的那份“压舱石”。公式是死的，但运用是活的。愿你在掌握这些核心工具之后，能把它变成解题时最锋利的刃。

考研路上，少即是多，熟即是快。祝你下笔有神，一研为定。

第一部分：高等数学

1、函数、极限与连续

  • 两个重要极限：

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

$$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \quad \text{或} \quad \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e $$

  • 等价无穷小（$x \to 0$ 时）：

$$ \sin x \sim x, \quad \tan x \sim x, \quad \arcsin x \sim x, \quad \arctan x \sim x $$

$$ \ln(1+x) \sim x, \quad e^x - 1 \sim x, \quad a^x - 1 \sim x\ln a $$

$$ 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}, \quad (1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x $$

  • 间断点类型：第一类（可去、跳跃），第二类（无穷、振荡）。

2、导数与微分

  • 基本求导公式：

$$ (x^\mu)' = \mu x^{\mu-1}, \quad (\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x $$

$$ (\tan x)' = \sec^2 x, \quad (\cot x)' = -\csc^2 x $$

$$ (\sec x)' = \sec x \tan x, \quad (\csc x)' = -\csc x \cot x $$

$$ (\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad (\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a} $$

$$ (e^x)' = e^x, \quad (a^x)' = a^x\ln a $$

$$ (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

$$ (\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}, \quad (\mathrm{arccot}\, x)' = -\frac{1}{1+x^2} $$

  • 高阶导数（莱布尼茨公式）：

$$ (uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(n-k)} v^{(k)} $$

  • 常用高阶导数：

$$ (\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right), \quad (\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right) $$

$$ \left(\frac{1}{ax+b}\right)^{(n)} = \frac{(-1)^n a^n n!}{(ax+b)^{n+1}} $$

3、中值定理与泰勒公式

  • 泰勒公式（麦克劳林展开）：

$$ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) $$

  • 必背展开式：

$$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \ldots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) $$

$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \ldots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}) $$

$$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \ldots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}) $$

$$ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \ldots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n) $$

$$ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{\alpha(\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) $$

4、积分

  • 基本积分表（略，与导数互为逆运算）。
  • 常用凑微分：

$$ \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + C $$

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C $$

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C $$

$$ \int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x| + C $$

$$ \int \csc x \, dx = \ln|\csc x - \cot x| + C $$

  • 区间再现公式（对称性）：

$$ \int\_{a}^{b} f(x)dx = \int\_{a}^{b} f(a+b-x)dx $$

$$ \int\_{-a}^{a} f(x)dx = \begin{cases} 0, & f(x) \text{ 为奇函数} \\\\ 2\displaystyle\int\_{0}^{a} f(x)dx, & f(x) \text{ 为偶函数} \end{cases} $$

  • 定积分定义求极限：

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) \, dx $$

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